Rozkłady alfa-stabilne i hiperboliczne w modelowaniu szeregów stóp zwrotu

Spis treści

Wstęp……………..4

Rozdział 1. Statystyczne własności finansowych szeregów czasowych…………. 5
1.1. Uwagi wstępne………. 5
1.2. Definicje stopy zwrotu……… 5
1.3. Empiryczne własności stóp zwrotu ….. 7
1.4. Procesy stochastyczne w modelowaniu cen …… 9
1.4.1. Procesy Lévy’ego ………… 10
1.4.2. Geometryczny ruch Browna………. 12
1.4.3. Geometryczny ruch Browna a rozkład stóp zwrotu… 13
1.5. Rozkłady nieskończenie podzielne …… 15

Rozdział 2. Rozkłady αstabilne………18
2.1. Uwagi wstępne…………… 18
2.2. Stabilne zmienne losowe………… 18
2.3. Uogólnione centralne twierdzenie graniczne…. 21
2.4. Definicja i parametryzacja……. 23
2.5. Funkcja gęstości rozkładów αstabilnych…… 27
2.6. Momenty, moda i asymptotyka……. 30
2.7. Własności αstabilnych zmiennych losowych…. 34
2.8. αstabilny ruch Lévy’ego….. 36

Rozdział 3. Uogólnione rozkłady hiperboliczne……. 39
3.1. Uwagi wstępne……………. 39
3.2. Definicja rozkładów GH ……….. 40
3.3. Rozkłady NIG i hiperboliczne……. 45
3.4. Funkcje tworzące momenty…….. 47
3.5. Asymptotyka rozkładów GH……….. 51
3.6. Hiperboliczny ruch Lévy’ego……. 55

Rozdział 4. Zastosowania rozkładów αstabilnychi hiperbolicznych w pomiarze ryzyka rynkowego……. 58
4.1. Uwagi wstępne…….. 58
4.2. Koncepcja Value at Risk………… 59
4.3. Kalibracja parametrów rozkładów stabilnych i hiperbolicznych….. 61
4.4. Weryfikacja metod pomiaru ryzyka…… 71
4.4.1. Uwagi wstępne …….. 71
4.4.2. Metoda wyznaczania kwantyla danego rozkładu… 72
4.4.3. Metoda wyznaczania VaR przy zastosowaniu filtru GARCH(1,1).. 74
4.4.4. Testowanie wsteczne modeli pomiaru VaR i ich ocena…. 80

Uwagi końcowe………. 88
Bibliografia…………. 89

Wstęp

Większość teorii finansów, które powstały na przestrzeni ostatnich 50-ciu lat, opiera się na założeniu o normalności rozkładu stóp zwrotu z instrumentów finansowych. W latach 60-tych ubiegłego wieku zaczęto podważać słuszność tego założenia. Badania empiryczne finansowych szeregów czasowych potwierdziły, że rozkład empiryczny zwrotów charakteryzuje się grubszymi ogonami od rozkładu normalnego oraz podwyższoną kurtozą. Wysunięto propozycję, aby alternatywę dla rozkładu normalnego stanowiła rodzina rozkładów α-stabilnych. W następnych latach pojawiło się wiele innych propozycji rozkładów, jednak szczególną uwagę zwróciła rodzina uogólnionych rozkładów hiperbolicznych.

Praktyczne stosowanie tych rodzin rozkładów było jednak ograniczone ze względu na problemy numeryczne z nimi związane. Celem tej pracy jest przedstawienie i usystematyzowanie wiedzy na temat rozkładów α-stabilnych i uogólnionych hiperbolicznych, gdyż w dobie powszechnej komputeryzacji ich praktyczna implementacja nie stanowi problemu. Pracę podzieliliśmy na cztery części:

1. Pierwszy rozdział zawiera zbiór podstawowych informacji na temat empirycznych i teoretycznych własności szeregów czasowych stóp zwrotu, które mają wpływ na wybór rozkładów α-stabilnych i uogólnionych hiperbolicznych do opisu powyższych szeregów.

2. W części drugiej zajmujemy się teoretycznymi aspektami dotyczącymi rodziny rozkładów α-stabilnych, ze szczególnym uwzględnieniem własności stabilnych zmiennych losowych.

3. Rozdział trzeci dotyczy teorii rozkładów uogólnionych hiperbolicznych. Przede wszystkim zwracamy w nim uwagę na mnogość przypadków szczególnych w tej klasie rozkładów takich jak: rozkłady NIG, hiperboliczne i skośne t-Studenta, ponieważ mają one szerokie zastosowanie w modelowaniu finansowym.

4. Ostatnia część ma charakter badawczy i ma na celu zademonstrowanie szerokich możliwości stosowania tych rozkładów w praktyce. Przedmiotem tego rozdziału jest koncepcja pomiaru ryzyka przy założeniu, że rozkład stóp zwrotu nie jest rozkładem normalnym. Ponadto, porównujemy różne koncepcje pomiaru ryzyka. Ma to na celu wybór tej metody, która w najlepszy sposób oszacowuje prawdziwe ryzyko jakie podejmuje inwestor działający na rynku finansowym.

Liczba stron 91
Nazwa Szkoły Wyższej Uniwersytet Łódzki w Łodzi
Rodzaj pracy magisterska
Rok oddania 2009