Twierdzenie Schaudera i jego zastosowanie do równań różniczkowych

Opis

Bardzo ważną i stosunkowo młodą dziedziną matematyki jest teoria punktów stałych, którą zapoczątkował i rozwinął polski matematyk Stefan Banach (1892-1945). Twierdzenie Schaudera, które zawarte jest w temacie pracy dotyczy także punktów stałych.

Dowód tego twierdzenia przedstawiony został w nieco inny sposób aniżeli można się z spotkać w podręcznikach analizy matematycznej.
Dowód twierdzenia Schaudera przedstawiony jest w oparciu o twierdzenie chińskiego matematyka Ky Fan, a pośrednio również na podstawie twierdzeń Spernera i Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza, które umieszczone zostały w drugim rozdziale.

Rozdział pierwszy stanowi część wstępną w której przedstawione zostały w formie skrótowej pewne wiadomości, twierdzenia oraz definicje zaczerpnięte z pracy [3] a wykorzystane w trakcie dowodów wymienionych wcześniej twierdzeń.

W ostatnim rozdziale przedstawione zostało zastosowanie twierdzenia Schaudera do równań różniczkowych oraz twierdzenie o charakteryzacji zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego, które to po raz pierwszy zauważył amerykański matematyk Aronszajn w 1942 r.

Problem charakteryzacji zbioru rozwiązań dla równań różniczkowych jest aktualnie intensywnie rozwijany przez wielu autorów.

R1 – wiadomości wstępne
§1 – przestrzenie metryczne
§2 – ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej
§3 – odwzorowania ciągłe
§4 – przestrzenie zupełne
§5 – przestrzenie zwarte
§6 – przestrzeń funkcji ciągłych
§7 – przestrzenie liniowe
§8 – przestrzenie unormowane
§9 – nierówność Gronwalla
R2 – twierdzenie Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza
§10 – sympleks i jego własności
§11 – odwzorowanie KKM
§12 – twierdzenie o punkcie stałym
R3 – zastosowanie twierdzenie Schaudera do równań różniczkowych
§13 – problem Cauchy’ego
§14 – twierdzenie Peano
§15 – charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy’ego
bibliografia